Вихровий рух

Супутній слід за військово-транспортним літаком C17, залповий відстріл теплових пасток

Вихрови́й рух — рух рідини або газу, при якому миттєва кутова швидкість обертання елементарних об'ємів середовища не дорівнює нулю. Кількісною мірою вихрового руху середовища (завихрення) служить псевдовектор ${\omega =\operatorname {rot} ~v}$, де $\ v$ — вектор швидкості рідини; $\omega$ називають псевдовектором вихору або просто завихреністю.

Рух за умови $\omega =0$ називається безвихровим або потенціальним, у протилежному випадку відбувається вихровий рух.

Природа вихрового руху

За поодинокими винятками, рух рідини або газу майже завжди є вихровим. Так, вихровою є і ламінарна течія у круглій трубі, коли швидкість розподіляється за параболічним законом, і турбулентна течія, течія у граничному шарі при плавному обтіканні тіла і у сліді за необтічним тілом. Вихровий характер має будь-яка турбулентна течія. В цих умовах виділення класу «вихровий рух» виявляється осмисленим, завдяки тому, що при переважанні сил інерції над силами в'язкості (при дуже великих числах Рейнольдса) типовою є локалізація завихрення у відособлених масах рідини — вихорах або вихрових зонах. Обертання елементарних об'ємів обумовлене тим, що на поверхні стінки через прилипання рідини швидкість її дорівнює нулю, а при віддаленні від стінок швидко зростає, так що швидкості сусідніх шарів різняться. В результаті гальмівного впливу нижнього шару і прискорювального впливу верхнього виникає обертання частинок, тобто відбувається вихровий рух. Прикладами вихрового руху є: вихори повітря атмосфері, що набувають часто величезних розмірів і утворюють смерчі та циклони; водяні вихори, що утворюються позаду опор моста; лійкоподібні вири у воді річки тощо.

У всякій в'язкій рідині діють сили тертя, в результаті яких вихори змінюють свою інтенсивність — поступово згасають. Так як вода і особливо повітря мають малу в'язкість, то в них вихори можуть зберігатися досить довгий період часу; наприклад, смерчі інколи переміщуються на значні відстані. У середовищі, позбавленому в'язкості (ідеальна рідина), вихори не могли б ні з'являтися знову, ні затухати. У середовищах з малою в'язкістю (вода, повітря) вихровий рух виникає в тих частинах течії, де сила в'язкості проявляється у найбільшій мірі, — в шарі поблизу поверхні обтічного тіла, у так званому приграничному шарі, заповненому сильно завихреним середовищем.

Вивчення вихрового руху має велике значення для розрахунку та конструювання крил літаків, повітряних гвинтів, лопаток турбін тощо.

Характеристики вихрового руху

Кількісно вихровий рух можна охарактеризувати вихором середовища (завихренням) — вектором $\omega$ кутової швидкості обертання частинок, який залежить від координат точки у потоці та від часу.

Векторне поле вихору зручно характеризувати певними геометричними образами. Лінія, дотична до якої у кожній точці спрямована по вектору вихору називається вихровою лінією. Відповідно до класичної теореми Гельмгольца, у граничному випадку руху нев'язкої рідини, густина якої є сталою або залежить лише від тиску, у потенціальному силовому полі вихрові лінії є вмороженими у середовище і складаються з одних і тих же частинок рідини тобто є матеріальними лініями.

Миттєва фотографія вихрового кільця

Сукупність вихрових ліній, що проходять через замкнуту криву, утворює вихрову трубку. Потік вектора вихору через довільний переріз вихрової трубки є однаковим. Він називається інтенсивністю вихрової трубки і дорівнює циркуляції швидкості $\Gamma =\int _{C}v\,dl$ по контуру $C$, що однократно охоплює вихрову трубку. Вихрові трубки при цьому виявляються ніби вмороженими у середовище, а їх інтенсивність зберігається у процесу руху. Зберігається також циркуляція швидкості довільному контуру, що складається з одних і тих же частинок рідини (циркуляційна теорема Кельвіна). Зокрема, якщо при русі область, що охоплюється даним контуром, звужується, то інтенсивність обертового руху всередині нього зростає. Ця особливість є важливим механізмом концентрації завихрення, що реалізується при витіканні рідини з отвору у дні посудини (ванни), при утворенні вирів поблизу низхідних потоків в річках, який обумовлює утворення циклонів і тайфунів у зонах пониженого атмосферного тиску у які відбувається приплив (конвергенція) повітряних мас.

Вихрова трубка у середині рідини не може мати ні початку, ні кінця; вона або може бути замкнутою (вихрове кільце), або повинна мати початок і кінець на границях рідини (наприклад, на поверхні обтічного тіла; на поверхні посудини у яку поміщена рідина; на поверхні землі — для випадку смерчу, на поверхні води або на дні річки — у випадку вихорів у протічній воді тощо).

Умови виникнення вихорів та їх взаємодія

Гігантська вихрова доріжка у хмарах, що утворилась при обтіканні повітряним потоком острова Робінзона Крузо (вид із супутника)

У рідині, яка перебуває у стані спокою або потенціального руху, вихори виникають або через порушення баротропності, наприклад утворення кільцевих вихорів при підйомі нагрітих мас повітря — терміків, або від взаємодії з твердими тілами.

Якщо обтікання тіла відбувається при великих числах $Re$, завихрення зароджується у вузьких зонах — у граничному шарі як прояв в'язких ефектів, а потім зноситься в основний потік, де формуються чітко видимі вихори, які протягом деякого часу еволюціонують та зберігають свою індивідуальність. Особливо ефектно це проявляється в утворенні за тілом, що погано обтікається, регулярної вихрової доріжки Кармана. Вихороутворення у сліді за погано обтічним тілом зумовлює основну частину аеродинамічного опору тіла, а утворення вихорів біля країв крил літальних апаратів викликає додатковий індуктивний опір.

При аналізі динамічних вихорів та їх взаємодії із зовнішнім безвихровим потоком часто використовується модель зосереджених вихорів — вихрових ниток у вигляді вихрових трубок крихітної інтенсивності, але нескінченно малого діаметра. Поблизу вихрової нитки рідина рухається відносно неї по колах, причому швидкість є обернено пропорційною до відстані від нитки, $v={\frac {\Gamma }{2\pi r}}$. Якщо вісь нитки є прямолінійною, цей вираз буде вірним для будь-якої відстані від нитки (потенціальний вихор). У перерізі нормальної площини ця течія відповідає точковому вихору. Система точкових вихорів є консервативною динамічною системою з кінцевим числом ступенів вільності, багато в чому аналогічною системі взаємодіючих частинок. Як завгодно мале збурення спочатку прямолінійних вихрових ниток призводить до їх викривлення з нескінченними швидкостями. Тому в розрахунках їх замінюють вихровими трубками кінцевого завихрення. Вузька область завихрення, що розділяє дві протяжні області безвихрового руху, моделюється пеленою — поверхнею, покритою вихровими нитками нескінченно малої інтенсивності, так, що сумарна їхня інтенсивність на одиницю довжини по нормалі до них уздовж поверхні є постійною. Вихрова поверхня являє собою поверхню розриву дотичних компонент швидкості. Вона є нестійкою до малих збурень.

У в'язкій рідині відбувається вирівнювання — дифузія локалізованих завихрень, причому роль коефіцієнта дифузії відіграє кінематична в'язкість рідини $\nu \$. При цьому еволюція завихрення описується рівнянням вихору

${\frac {\partial \omega }{\partial t}}=\operatorname {rot} (v\,\omega )+\nu \triangledown ^{2}\omega ,$

або

${\frac {d\omega }{dt}}=(\omega \nabla )v+\nu \triangledown ^{2}\omega ,$

Тобто бистрота зміни вектора $\omega$ визначається похідною вектора $v\$ по напрямку $\omega$.

При великих числах $Re$ рух турбулізується, і дифузія завихрень визначається набагато більшим коефіцієнтом ефективної турбулентної в'язкості, що не є константою для рідини і має складну залежність від характеру руху.

Присутність у рідині вихорів викликає появу в ній додаткових швидкостей. При наявності в рідині системи вихорів вони роблять вплив на рух один одного. Так, наприклад, два вихори рівної за величиною і протилежної за знаком інтенсивності надають один одному рівні за величиною і однаково спрямовані швидкості тобто рухаються поступально; два вихори, що мають однакові за абсолютною величиною і знаком інтенсивності, обертаються навколо осі, що проходить через середину відстаней між ними.

Якщо два вихрових кільця мають спільну вісь і однаковий напрямок обертання, то переднє кільце внаслідок швидкостей, що надається заднім, збільшується у діаметрі й сповільнюється; заднє при цьому зменшується в діаметрі, проходить крізь переднє, тобто вони міняються місцями, і весь процес починається спочатку (так звана «гра» вихрових кілець).

Див. також

• Ламінарна течія
• Турбулентна течія
• Рівняння вихору
• Вихрова труба

Джерела

• Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика, ч.1. Под ред. И. А. Кибеля. — 6-е изд., испр. и доп. — М.: Физматлит, 1963. — 583 с.
• Седов Л. И. Механика сплошной среды. Учеб. для вузов. — 4-е изд. исправл. и дополн. — М.: Наука, 1983.  — Т.1. — 528 с.
• Седов Л. И. Механика сплошной среды. Учеб. для вузов. — 4-е изд. исправл. и дополн. — М.: Наука, 1984 — Т.2. — 560 с.
• Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. — М.: Наука, 1973. — 416 с..
• Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. Перевод с английского. — М.: Мир, 1973. — 760 с.